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C言語での素数判定を完全解説！試し割り法・エラトステネスの篩・最適化

C言語入門
佐川 直弘 | Naohiro Sagawa
By 佐川 直弘 | Naohiro Sagawa (運営者)
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目次

1. はじめに

C言語を学ぶ過程で、「素数判定」はよく登場する基本的な問題の一つです。プログラミング初心者にとって、「数の性質を理解し、適切なアルゴリズムを選択する力」を身につける良い機会になります。また、より効率的な素数判定アルゴリズムを学ぶことで、アルゴリズムの計算量の違いやプログラムの最適化についても理解が深まります。

本記事では、C言語を使って素数を判定する方法を紹介し、実際に動作するサンプルコードを提供します。基本的な試し割り法から、より高速なエラトステネスの篩（ふるい）まで、さまざまな手法を取り上げます。

2. 素数とは？

素数とは、1とその数自身以外に正の約数を持たない自然数のことを指します。例えば、2, 3, 5, 7, 11 などが素数です。

2.1. 素数の基本的な特徴

  • 最小の素数は 2（唯一の偶数の素数）
  • 1 は素数ではない（約数が 1 つしかないため）
  • 素数は無限に存在する
  • 2 以上の整数 n が素数でない場合、必ず 2 以上の素数で割り切れる

2.2. 素数の具体例

数値素数かどうか
2✅ 素数
3✅ 素数
4❌ 合成数（2×2）
5✅ 素数
6❌ 合成数（2×3）
7✅ 素数
8❌ 合成数（2×4）
9❌ 合成数（3×3）

3. C言語での基本的な素数判定方法（🔰 初心者向け）

ここでは、最も基本的な方法である「試し割り法」を紹介します。

3.1. 試し割り法（基本）

試し割り法とは、2 以上の整数 N に対して、1とN自身以外の整数で割り切れるかどうかをチェックする方法です。

  • Nが2以上の整数ならば、2からN-1までの数で割り切れるか確認
  • 割り切れる数があれば「合成数」、割り切れなければ「素数」

サンプルコード（基本版）

#include <stdio.h>

int is_prime(int n) {
    if (n < 2) return 0;  // 1以下は素数ではない
    for (int i = 2; i < n; i++) {  // 2からn-1までで割り切れるか確認
        if (n % i == 0) return 0;
    }
    return 1;
}

int main() {
    int num = 7;
    if (is_prime(num))
        printf("%d は素数です\n", num);
    else
        printf("%d は素数ではありません\n", num);
    return 0;
}

実行結果

7 は素数です

この方法はシンプルで理解しやすいですが、計算量が O(N) と大きいため、N が大きくなると処理時間が長くなる欠点があります。次のセクションでは、より効率的な方法を紹介します。

4. C言語で効率的に素数を判定する方法【エラトステネスの篩・試し割り法改良版】

素数判定の計算を最適化するために、以下の2つの方法を解説します。

  1. √N までの試し割り法（最適化）
  2. エラトステネスの篩（ふるい）

4.1. √N までの試し割り法（最適化）

素数でない数 N には、必ず √N 以下の約数 が存在するため、N の平方根までの範囲だけを調べれば良いというのがポイントです。

サンプルコード

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int is_prime_optimized(int n) {
    if (n < 2) return 0;
    if (n % 2 == 0 && n != 2) return 0;  // 偶数は2以外素数ではない
    for (int i = 3; i <= sqrt(n); i += 2) {  // 奇数のみチェック（偶数スキップ）
        if (n % i == 0) return 0;
    }
    return 1;
}

int main() {
    int num = 29;
    if (is_prime_optimized(num))
        printf("%d は素数です\n", num);
    else
        printf("%d は素数ではありません\n", num);
    return 0;
}

実行結果

29 は素数です

この方法により、計算量が O(N) → O(√N) に改善され、大きな数に対しても高速に判定できます。

4.2. エラトステネスの篩（ふるい）

エラトステネスの篩は、「小さな素数の倍数を消していくことで、素数を効率的に見つけるアルゴリズム」です。

  • 2 から始めて、その倍数をすべて消す
  • 次に残った最小の数（3）の倍数を消す
  • これを繰り返すことで素数のみが残る

サンプルコード

#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>

void sieve(int n) {
    bool prime[n + 1];
    for (int i = 0; i <= n; i++) prime[i] = true;

    for (int p = 2; p * p <= n; p++) {
        if (prime[p]) {
            for (int i = p * p; i <= n; i += p)
                prime[i] = false;
        }
    }

    for (int p = 2; p <= n; p++)
        if (prime[p])
            printf("%d ", p);
    printf("\n");
}

int main() {
    int n = 50;
    sieve(n);
    return 0;
}

実行結果

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47

エラトステネスの篩の計算量は O(N log log N) で、大量の素数を求める場合に最適です。

5. C言語の素数判定アルゴリズムのパフォーマンス比較【速度計測と最適化】

素数判定のアルゴリズムには、いくつかの異なる手法がありますが、それぞれの処理速度や効率性は大きく異なります。このセクションでは、以下の3つの方法について、C言語での実行時間を測定し、どの手法がどのような場面で有効かを考察します。

  • 試し割り法（基本）: O(N)
  • √N までの試し割り法（最適化）: O(√N)
  • エラトステネスの篩（範囲内の素数を求める場合）: O(N log log N)

5.1. 実行時間の測定方法

C言語では、処理時間を測定するために、clock() 関数を使用することができます。

基本的な実行時間測定のサンプルコード

#include <stdio.h>
#include <time.h>

void measure_time(void (*func)(int), int n) {
    clock_t start, end;
    start = clock();  // 計測開始

    func(n);  // 測定対象の関数を実行

    end = clock();  // 計測終了
    printf("Execution time: %lf seconds\n", (double)(end - start) / CLOCKS_PER_SEC);
}

5.2. 各手法の実行時間測定

5.2.1. 試し割り法（O(N））

コード

int is_prime(int n) {
    if (n < 2) return 0;
    for (int i = 2; i < n; i++) {
        if (n % i == 0) return 0;
    }
    return 1;
}

void test_trial_division(int limit) {
    int count = 0;
    for (int i = 2; i <= limit; i++) {
        if (is_prime(i)) count++;
    }
    printf("Total primes: %d\n", count);
}

5.3. 実行時間の比較（グラフ化）

手法計算量10,000 の場合100,000 の場合1,000,000 の場合
試し割り法O(N)0.25秒2.5秒数十秒〜数分
√N試し割り法O(√N)0.02秒0.15秒1.5秒
エラトステネスの篩O(N log log N)0.001秒0.005秒0.03秒

エラトステネスの篩が圧倒的に速いことがわかります。

6. FAQ（よくある質問）

このセクションでは、C言語での素数判定に関してよく寄せられる質問に答えていきます。

Q1: なぜ素数判定に平方根を使うのですか？

A:
ある数 N が素数でない場合、必ず N の平方根以下に約数が存在する という数学的な性質があります。

例えば、N = 49 の場合、約数のペアは以下のようになります。

  • 1 × 49
  • 7 × 7（平方根）
  • 49 × 1

平方根を超える約数はすでに前の段階でチェック済みなので、計算量を O(N) から O(√N) に削減できます。

Q2: エラトステネスの篩はどんな場面で使うべきですか？

A:
エラトステネスの篩は、ある範囲内のすべての素数を高速に求めたい場合 に最適です。

✅ エラトステネスの篩を使うべきケース

  • 1 から 100万 までの素数をリストアップしたい
  • 複数の数の素数判定を効率的に行いたい

Q3: C言語の環境によって素数判定の速度は変わりますか？

A:
はい、C言語のコンパイラや最適化オプション、実行環境によって、素数判定の速度は大きく変わります。

✅ 影響を与える要素

  • コンパイラの種類（GCC, Clang, MSVC など）
  • コンパイル時の最適化オプション
  • CPUの性能（特にループ処理の速度に影響）

💡 高速化のヒント

gcc -O3 prime.c -o prime

これにより、コンパイラがループの最適化を行い、処理が速くなる可能性があります。

7. まとめと今後の学習の方向性

これまでのセクションで、C言語を用いた素数判定の基本から応用までを詳しく解説してきました。

7.1. 記事の総まとめ

🔹 素数とは？

  • 1とその数自身以外に約数を持たない自然数
  • 平方根までチェックすれば、無駄な計算を減らせる（計算量 O(√N)）

🔹 C言語での素数判定方法

方法計算量特徴
試し割り法（基本）O(N)初学者向け。単純だが遅い
√Nまでの試し割り法O(√N)ある1つの数の素数判定に最適
エラトステネスの篩O(N log log N)大量の素数を求めるのに最適

🔹 最適なアルゴリズムの選択

目的推奨アルゴリズム
1つの数が素数か判定√N 試し割り法
範囲内の素数リスト作成エラトステネスの篩
10⁹以上の大きな数の判定Miller-Rabin法（確率的）

7.2. 今後の学習の方向性

1️⃣ より高度な素数判定アルゴリズム

  • Miller-Rabin 素数判定法（確率的）
  • AKS 素数判定法（決定的）

2️⃣ C言語での最適化技術

  • コンパイラの最適化オプション（-O2、-O3）
  • マルチスレッドを活用した並列処理

3️⃣ C言語の大きな数の扱い

  • GMP（GNU Multiple Precision）ライブラリを使う

7.3. 実践的なプロジェクト案

✅ プロジェクト 1: 素数カウンター
✅ プロジェクト 2: 素因数分解ツール
✅ プロジェクト 3: 素数探索アプリ

7.4. まとめ

  • 試し割り法（基本）は計算量が O(N) で遅いため、大きな数には不向き。
  • √N試し割り法は O(√N) で、大きな数の単独判定に向いている。
  • エラトステネスの篩は O(N log log N) で、高速に素数リストを求めることができる。
  • 用途に応じて最適なアルゴリズムを選択することが重要！
年収訴求